書名：平面國
作者：Edwin Abbott Abbott
第一部 這個世界
第一章、平面國的本質
我用「平面國」來稱呼我所在的國度，那並不是她真正的名字，只是為了讓你們，生活在立體世界裡的快樂讀者們，能夠清楚理解這個國度的特質。
你可以想像一個巨大的平面，上面有很多直線、三角形、四邊形、五邊形、六邊形和其它各種圖形，他們①並非固定不動，而可以在平面上自由的向四方移動，但卻不能向上或向下離開平面。和影子很類似，有結實的形狀和清楚的輪廓。這樣說，你應該對我的國度和子民，有一個相當正確的印象了。唉，不久以前，我還會說這裡是「我的宇宙」，但現在，我的心智已經啟發，視野提升到更高的層次，不再坐井觀天了。
你馬上意識到在這個國度裡，不存在你們所謂「實體」的東西。但我敢說，你一定以為我們可以看到我所描述的的各種不停移動的形狀，其實不然，我們看不出任何形狀，也無法分辨他們的差別，唯一可以看到的只有線段，其原因容我慢慢解釋。
在你們的立體國裡，如果拿一個一便士②的硬幣放在桌上，然後從桌子上方盯著看，你會看到硬幣呈現一個圓形。如果你的眼睛慢慢朝桌緣的方向移動（這樣做，你將越來越接近我們在平面國所處的環境），硬幣的形狀就逐漸變成橢圓形。最後，當你的眼睛移到了桌緣，視線沿著桌面看過去時（此時，你已經等同身在平面國了），硬幣看起來已經不是橢圓形，而是一段直線了。
如果你用各種形狀的紙板代替硬幣，做同樣的事情，當你的眼睛移到桌緣時，各種形狀都會消失，你看到的只是一段直線。
以一個正三角形為例吧，在平面國，這代表一個受人尊敬的商人階層。圖一顯示你彎腰從上方俯視時，看到此人的模樣，圖二及圖三則是當你的眼睛逐漸接近平面，或是貼近到平面上時，你所看到的（而這就是我們在平面國所見），變成了一段直線。
當我在立體國的時候，聽說你們的水手航行在茫茫大海，遠眺海平面上的陸地和島嶼時，也會有非常類似的經驗。從船上瞭望，無法分辨遠處海灣、岬角、或是陸地與海洋交錯的地形（除非，陽光照射的角度，藉由光線和陰影，正好顯現出這些地形的投影），你看到的只是水際天邊一條連續的灰色線段。
呃，在平面國，我們如果迎面遇上一位三角形，或是其它形狀的熟人，看到的就是這種情形。因為我們這裡沒有陽光，也沒有光線照射所形成的陰影，我們無緣體會你們在立體國裡的視覺經驗。如果一個朋友走近時，我們會感覺到線段變大；他離開時，線段就變小。但終究看到的只是一個線段，無論他是三角形、四邊形、五邊形、六邊形或是圓形，看起來都不會有任何區別，只是一個線段。
你也許要問，在如此不利的條件下，我們怎麼去分辨每一個人？針對這一個非常基本的問題，在我描述平面國居民的時候，可以更準確也更容易去回答。此刻，允許我跳過它，先說明一下我們的氣候和房屋。
第二章、平面國的氣候和房屋
我們的羅盤和你們的一樣，也有東、南、西、北四個方位。因為沒有太陽和其它天體，所以不能用常規去定位北方，但我們有自己的方法。
根據我們的自然法則，有一股穩定向南方的引力，雖然在溫和氣候下非常微弱，但即使是一位女士，只要在健康良好的狀態下，都能夠毫無困難的向北方移動幾個弗隆①。這股南向引力，在我們國度的大部分地區，已足夠發揮羅盤的功能。此外，定期降下的雨水，總是來自北方，這也是另外一個方向指標。
在市區，房屋指引了方向，大部分房屋的邊牆都是南北走向，這樣是為了屋頂可以阻擋從北方來的雨水。在沒有房屋的鄉間，樹幹也可以做為方向指標。總之，我們辨識方向，沒有想像的那麼困難。
然而，在氣候更溫和的地區，南向引力變得極難察覺。當我行走在杳無人煙，連樹木都沒有的荒原上，有時候不得不停下腳步，靜靜的等待幾個小時，直到下雨，這才能尋得方向，繼續前進。
南向引力對老人、病弱者，尤其對脆弱的女性，比對精力充沛的男性，會有更大的影響。因此，出於良好的教養，我們在路上遇到女士時，總是讓出北方的一側。但在自己身強體壯，或是因為氣候因素難以分辨南北，缺乏方向指標時，突然間要應付這樣的狀況，其實並不容易。
我們的房屋沒有窗戶，但無論室內、室外，無論白天、黑夜，在任何時間地點，我們都會看到一樣的光線，卻不知道它來自何處。
曾經有一些飽學之士鍥而不捨的研究「光從哪裡來？」這個有趣的問題，但反覆論證的結果，卻導致精神病院人滿為患。
後來，當局試圖以重稅手段，間接遏止此類研究，但徒勞無功。之後，就直接立法，全面禁止了相關的研究。至於我，唉，唯一可以解答這個秘密的人，卻在平面國境內找不到一個同胞，可以理解我的知識。身為唯一掌握了立體世界與光線來源真相的人，我卻被當作瘋子來嘲弄。不過，還是先擱下這些令人傷感的題外話吧，我們回頭來談談房屋。
最普遍的房屋結構是五邊形，如附圖。朝北的兩邊RO、OF構成屋頂，多半沒有門。東側邊有一個女士專用的小門；西側邊有一個較大的男士專用門。南面是地板，一般而言，也沒有門。
正方形或三角形的房屋是不被允許的，其原因在於正方形的四個角（更別提正三角形的三個角）要比五邊形的角更尖銳。
而且這些物體（例如房屋）的線段顏色比男人或女人暗淡，可能導致的風險不容忽視，當莽撞或心不在焉的行人撞上正方形或三角形的尖角時，恐怕會產生嚴重的傷害。因此，早在十一世紀，我們的法律就已經全面禁止建造三角形房屋了。只有防禦工事、火藥庫、兵營和一些政府建築是例外，而這些都是不希望一般民眾輕率接近的地方。
實際上，此刻在全國各處，正方形房屋仍然是合法的，只是會課以特殊的稅賦，當作勸阻手段。
不過法律已經規定，在其後的三個世紀，只要是人口超過一萬人的城鎮，為了公眾安全，所有屋角都不能小於五邊形的角。
良好的公民意識支持這樣的法律，所以即使在鄉間，五邊形房屋也是最普遍的型式。只有在極度偏遠落後的農村地區，考古者偶爾還可以找到正方形的房屋。
第三章、平面國的居民
在平面國，一個成年公民的最大長度或寬度約等於你們的十一英寸，最大極限不超過十二英寸。
我們的女性都是線段。
士兵和低階勞工是有兩邊等長的三角形，等長的兩邊大約是十一英寸，第三邊是很短的底邊（通常不超過半英寸），合起來組成令人望而生畏的尖銳頂角。事實上，他們其中的最低等級（底邊不超過八分之一英寸），頂角極其尖細，外形很難與直線或女性有所區分。和你們一樣，我們也把這種三角形稱之為等腰三角形，以與其它三角形有所區別，下文中我也會沿用這個名稱。
我們的中產階級是等邊三角形，也叫正三角形。
我們的專業人士及仕紳階級則為正方形（我就屬於這一階級）和五邊形。在此之上為貴族。
貴族也有很多等級，他們從六邊形開始晉升，邊數也逐漸增加，直到獲得多邊形封號。最後當邊數太多，每一邊的長度越來越小，外形和圓形已難以區別時，此人就算位列教士，躋身最高階層了。
我們的自然法則規定男孩比他的父親要多一條邊，因此每一代都會提升一個等級。據此，一個四邊形的兒子是五邊形；五邊形的兒子是六邊形，以此類推。
但這一規則並不一定適用於商人階級，更遑論其下的士兵或勞動階級。這些階級由於邊長不等，他們甚至很難被稱為人類，自然法則當然也不適用。
一個等腰三角形的兒子，仍然是一個等腰三角形。雖然如此，卻也不是全然絕望，一個等腰三角形的後代，最終還是可能從卑微的境域崛起。一般發現部分最優秀的士兵或工人，在累積了戰功，或是長期靈巧勤奮的勞動之後，其底邊會略微增長，而兩腰卻逐漸縮短。這些低等級優秀份子的子女經過跨族通婚（經由教士的安排），會導致其後代逐漸向等邊三角形進化。
在眾多的新生兒中，真正由等腰三角形生育出正三角形的比例非常之低。發生這種特例的條件，不只是仔細安排的跨族通婚，還需要好幾代先輩長期節儉自持，耐心、有系統的發展其等腰三角形的心智，才能夠培育出正三角形的後代。
等腰三角形如果生育出真正的正三角形，將會是方圓好幾里之內大家津津樂道的話題。新生兒經過衛生部和社會部仔細檢查之後，如果確認為等邊三角形無誤，則會以莊重的儀式，將他迎入正三角形的社群。他會立刻從驕傲又悲傷的父母身邊被帶走，並交由一個沒有子嗣的正三角形領養。
領養者需立誓讓新生兒永不進入其原生家庭，也不和任何親戚相見。為的是怕這個新生命，受無意識的模仿驅使，墮回其世襲階層。.
至於世代為農奴的家族，偶爾也會生出等腰三角形，這種現象不僅受到貧農階層所歡迎，因為為他們枯燥而卑賤的生存帶來一絲曙光；而且也廣受貴族階層歡迎，因為他們非常清楚，這種罕見的現象，一絲一毫都撼動不了上流社會的特權，但對於防止下層社會革命造反，卻是很好的防火牆。
如果所有角度鋒利的暴民全然失去了希望與目標，他們可能在暴亂中推舉出領導人，進而聚集龐大的隊伍和戰力，形成讓睿智的圓形階層都難以應付的局面。
但是自然規則巧妙的規定了當勞動階層的心智、知識和品德提升時，他們鋒利的銳角（讓他們看起來兇惡的外形）也等比例的鈍化，直到接近和等邊三角形一樣無害的角度。
事實證明即便最粗暴兇惡的士兵階層，其智力水平幾乎和女人一樣貧乏，但是當他們的心智能力逐漸成熟，直到足以駕馭其令人生畏的刺穿力時，刺穿力本身卻逐漸消失了。
多麼令人讚嘆的補償法則！大自然調適力的完美證明。我甚至可以說，這是維護平面國貴族結構的天賜良策。
明智的應用這一自然法則，多邊形和圓形階層得以操弄人心中永存的美好期盼，然後成功的將暴亂遏止在萌芽階段。
專門技術也可以成為法律與秩序的幫手，一般來說，透過國家醫生小小的人工調整，就可以將那些最聰明的暴動領袖完美的納入規範，並允許他們立刻晉身特權階級；為數較多的是那些達不到標準，但一心期盼最後能加官晉爵的人，他們被誘入國家醫院，並在此光榮的幽禁終身；少數一、兩個最固執、最愚蠢、完全不可救藥的偏差份子，則被處決了事。
可憐的是那些追隨他們的等腰三角形暴民，在既無計畫也沒有領袖的情形下，要不是毫無抵抗的被貴族雇傭的三角形同類刺殺，或者更常見的，就是受到貴族巧妙的擺弄，在忌妒與猜疑的驅使下，自相殘殺終至死在彼此的銳角下。從歷史記錄來看，多達一百廿起的起義，還有最少兩百卅五起的小型暴動，最後都是這樣的結局。
第四章、女性
如果鋒利的士兵令人畏懼，那麼我們可以說女人更令人害怕。士兵如果是楔形，女人就是一根針，而且兩端都尖銳無比，她們因此還可以隨意隱身。你可以想見，平面國的女性絕非好惹。
在這裡，一些年輕的朋友也許會問，平面國的女性如何隱身呢？其中道理應該顯而易見，但我還是為那些不喜歡動腦筋的讀者，簡單說明一下。
把一根針放在桌上，你的眼睛沿著桌緣看過去，如果從針的側面，你會看到針的長度。如果你對著針尖看過去，只會看到一個微小的黑點，這根針實際上近乎隱身了。
平面國的女性，就是這個狀況。當她們側面朝向我們時，我們會看到一條線段；當她們的眼睛和嘴巴這一端朝向我們時，我們沒有辦法分辨出這兩個器官，但會看到一個明亮的光點；當她們的背朝向我們時，我們只看到一個暗淡如同無生命物體般的小點，背面幾乎可說是她們的一頂隱身帽。
至此，就算是立體國裡反應最遲鈍的人，應該都能理解女人給我們帶來的危險了。
受人尊敬的中產階級三角形不能免除這種威脅；勞動階級如果給撞上了，免不了留下一道裂痕；軍官被撞上了可能會受重傷；士兵的頂端，即使被被輕輕一碰，也會致命；而如果女人與女人相撞，除了立時殞命以外，還能有怎樣的結果呢？當女人的背面只呈現一個暗淡的小點，幾乎看不見時，就算極端的小心翼翼，也很難避免碰撞的危險。
各州郡在不同時期制定了許多法規，就是為了避免這種危險。在南方或是氣候變化較為劇烈的地區，南向引力比較強，人們隨性及無意識的動作比較大，對女性的規定自然也就比較嚴格。這些規定大致歸納為以下三點：
第一，每間房子都要在東方設立一個女性專用的入口，女性必需以合宜有禮的方式進出此門，而不允許使用西方男人專用的入口；
第二，女性在公共場合出入必需不斷發出溫和的呼喊聲，否則將可判處死刑；
第三，任何女性如果確診患了舞蹈病、全身痙攣、長期感冒並且伴隨劇烈的噴嚏，或是其它不自主運動的疾病，都應該立即摧毀。
在某些州郡還制定了附加條例，規定女性在公共場所走動或駐足時，必需持續左右擺動背部，以警示行走在後的人們，違規者判處死刑。
有些州郡則要求女性外出旅行時，必需由兒子、僕人或是丈夫跟隨其後。還有些州郡要求女性除了參加宗教慶典以外，不得離開家門。但是睿智的統治階層發現對女性太多的限制，不僅削弱國力，降低人口，還導致家庭謀殺案增加。整體而言，法規限制太多，對國家弊多於利、得不償失。
當女人被拘束在家，或是被層出不窮的限制給激怒時，她們傾向發洩在先生和孩子身上。在氣候惡劣的季節，有些村莊的男性人口會在一、兩小時之內折損殆盡，只因為所有女性同時情緒爆發。因此前述的三點基本規定，在那些有良好制度的州郡已經夠用了，這也可被視為女性條款的範例。
話雖如此，幸好我們還有一個根本的防護機制，不是依賴法律的規範，而是來自於女性自身利益的考量。雖然女人在後退時可以瞬間致人於死，但除非立刻將刺尖從受害者掙扎的身軀移開，否則她們自己脆弱的身體也會馬上碎裂。
流行時尚也有其影響力，我曾經指出在某些落後的州郡，女性駐足公共場所必需左右擺動她的背部。但在一些進步的州郡，根據可追溯的記載，這已經成為豪門仕女的本能。因此在任何地方，如果還要用法令去規範上流仕女發乎自然的行動，被視為是一種羞辱。
容我這麼說，圓形階層的女眷們那種精心練習過的背部韻律波動，為等腰三角形女眷們所忌羨及模仿，因為她們自己只能做到像鐘擺一樣單調的擺動。即便如此，這種規則的擺動仍然受到最積極進取的等腰三角形女眷們的崇拜和仿效。
背部擺動並不是家庭主婦的生活必需品，但在那些有地位或是有愛心的家庭，背部擺動就像時間一樣平常。在這樣的家庭中，丈夫和兒子們起碼可安心的遠離看不見的攻擊。
絕對不要有一絲一毫的懷疑，認為我們的女性缺乏感情。不幸的是我們脆弱的女性，關鍵時刻往往為激情所支配，而置其它於不顧。這當然是因為她們有缺陷的構造所致。
由於她們沒有角度，甚至比最低等的等腰三角形還不如，導致她們完全沒有智力，不能思考、判斷，也不會推理，更幾乎沒有記憶。
當她們憤怒到顫抖時，記不得任何承諾，分辨的能力也不見了。我就知道這麼一件事，有一個女人在暴怒中將全家摧毀，過了半小時，平靜下來，把殘垣廢瓦清理完畢以後，竟然問說：她的先生和小孩發生了什麼事？
顯而易見，一個女人只要置身在可以轉身的地方，就不會情緒失控。當和她們一起待在屋內，而屋子的結構就是設計用來消除女性的破壞力時，你講話和行動都可以沒有顧忌。此時她們不具備殺傷力，她們全然忘記幾分鐘前對你的死亡威脅，更記不得你為了安撫她們時所作的承諾。
一般而言，除了低級的士兵階層以外，我們的家庭關係是和諧的。那些無法形容的慘劇，通常是因為丈夫不夠細心和缺乏手腕所導致。他們太仰仗銳利的攻擊武器，忽略了細心感受和體貼揣摩等防護本能。
這些粗枝大葉的人們總是漠視定制的女性房屋結構，在戶外以不智的言語激怒了老婆，還不肯立刻修正；此外，由於反應遲鈍並執著於字面的是非對錯，使得他們不能像高級圓形那樣以大方的承諾來安撫妻子。其結果，就是一場屠殺。但這現象並非全無是處，因為往往消滅了殘暴且惹是生非的等腰三角形。在許多圓形的眼裡，那些最細小的女性簡直是上天為了解決多餘人口，並消彌革命於無形所做的安排。
然而，即使是完美圓形，我也不能說他們所謂的理想家庭生活，能和你們立體國相比擬。他們的生活裡，因為沒有流血殺戮，所以可以稱之為起碼的平靜，但顯然少了一點和諧的品味與消遣。
謹慎明智的圓形，以犧牲家庭生活的舒適，來確保生活安全。不知從什麼時候開始，在圓形或是多邊形的上層階級家庭裡，所有女性成員已經習慣成自然，始終用眼睛或嘴巴面對男主人或是友人。在名門大戶裡，如果女性將背部朝向男主人，則被認為是失勢的惡兆。但我也將說明，這樣做雖然對安全有益，但並非沒有缺點。
在勞動階級或是商人階級的家裡，女人處理家務時，是允許以背部朝向男主人的，那時可享有片刻的寧靜，除非妻子不斷發出溫和的呼喊，否則此時丈夫既看不見也聽不到她。
在上層階級的家庭裡，則沒有安靜可言。喋喋不休的嘴巴和明亮逼人的眼睛始終對著男主人，而女性的口舌似乎比目光更悠長。避免被女性螫刺的手段技巧，不足以讓女性閉嘴。由於女性並沒有什麼有意義的話題可說，但她們又沒有智慧、理智或良知去控制自己開口講話，以至於好些憤世嫉俗者宣稱，寧願安靜的被針螫而死，也不願安全的與女性聒噪的那一端共處。
生活在立體國度的讀者們，也許會覺得我們這裡的女性真是悲慘，事實也是如此。男人即便是最低階的等腰三角形，還可以期待逐漸改善角度，最終提升他的社會階層。但女性卻沒有希望，「身為女人，永為女人」是自然法則；進化律在女性的缺陷上，似乎也停滯不前。但至少我們得承認老天爺的設計是睿智的，因為沒有希望，所以她們不會回憶也無法預見那些已成為平面國立國基礎，註定給她們一生帶來苦難與屈辱的規則條例。
第五章、辨識他人的方法
你們，在光和影的祝福下，享有恩賜的雙眼，具備洞悉事物的能力，體驗過繽紛五彩的魅力。你們可以實實在在的看到角度；你們在快樂的三維國度裡，能夠探求圓形的周長。我要怎樣才能讓你們明白，在我們平面國，想要理解旁人的結構，竟是如此的困難？
我之前說過了，平面國所有的事物，無論有沒有生命，也不管形式為何，看在我們的眼裡，都是一樣，或幾乎一樣。也就是說，都是一條線段。既然他們看起來都一樣，那麼要如何去分辨呢？答案是有三種方法。
第一種方法就是靠聽覺。我們的聽力遠遠超乎你們之上，這使得我們不僅可以靠聲音辨識親朋好友，還可以判斷出對方的階級，至少可分辨出正三角形、正方形和五邊形這三個較低的等級。
在這裡，等腰三角形並沒有列入考慮。如果我們把範圍擴大到整個社會，靠聲音相互辨識的難度將增高。一方面因為聲音逐漸同化了；另一方面，辨識聲音的機能在平民百姓身上是本能，在貴族身上，卻不太發達。而且在詐騙的風險下，我們不能輕信這個方法。最低階層的發聲器官比聽覺器官更發達，所以一個等腰三角形可以輕易的假裝出五邊形的聲音，再經過一番訓練，還可以發出圓形的聲音。下面第二種方法，也因此更普遍為大家所倚賴。
我要說的第二種方法是觸摸，那是在女性或下等階層中的主要辨識手段（關於較高階層，我稍後會說明），不僅適用於陌生人之間，還包括階層與階層之間。在立體國上層社會所謂的「介紹」，等於我們的「觸摸」。
一些偏遠地區，老派的紳士仍然沿用「容我請你與我的朋友某某某觸摸和被觸摸」這樣的習慣語法來做介紹。但在都會區和商業人士之間，省略了「被觸摸」，而將句子簡化為「容我請你觸摸我的朋友某某某」，在此，「觸摸」隱含了雙向觸摸的意思。
許多時尚及激進的年輕紳士們反對繁文縟節，並且毫不關心傳統語言的純度。進一步簡化的語法更技術性的賦予了「觸摸」新概念，其意思為「請你觸摸和被觸摸」。此刻，粗鄙語言經過上流社會認可，在上下各階層流行的俚俗說法變成了：「史密斯先生，容我觸摸瓊斯先生」。
我的讀者切勿以你們的觀點，將「觸摸」理解為惱人的程序；或者誤以為要摸遍全身才能分辨出對方所屬的階層。我們從學生時代就開始受訓練，延續到日後生活中的經驗，使得我們只要輕觸對方，就能分辨出等邊三角形、正方形和五邊形。等腰三角形更不用說了，那銳利的頂角，就是最遲鈍的觸覺也能感覺出來。
因此，根據規則，我們最多只要觸摸對方的一個角，一旦確認，就能判斷出交談對象的階層。除非他是屬於最高階級的貴族，那就會有些麻煩，曾經有一位溫橋大學（University of Wentbridge）的文學碩士，也不免把十邊形和十二邊形搞錯了。而即便是知名大學的科學博士，都不敢說能夠快速準確的分辨出廿邊形和廿四邊形的貴族階層。
讀者中如果有人記得我之前簡述關於與女性相關的法律，就能理解為什麼靠接觸來進行的介紹過程，需要謹慎小心，因為被觸摸者的尖端可能對觸摸者的觸角造成無法挽回的傷害。
為了安全起見，被觸摸者要完全靜止不動。稍有驚嚇，略為移動位置，沒錯，甚至一個猛烈的噴嚏，根據經驗，就足以讓粗心的人發生致命意外，許多前途看好的友誼就此夭折。在低級的三角形中，更是如此。三角形的眼睛離頂點太遠，以至於他完全無法認知身體的尖端發生了什麼事。此外，他們是低等的生物，無法察覺高度進化多邊形優雅的觸碰。如果輕率的搖一搖頭，一個有價值的生命就此結束，那將多麼的令人難以想像啊。
我那優秀的祖父，他屬於悲情的等腰三角形中規則程度最高的級別，但直到臨終前不久，他才經由衛生社會委員會七席投票，四席同意，晉身為等邊形。他經常汨著淚水訴說發生在他高高曾祖父身上的悲慘遭遇。
那是一位令人尊敬的勞動階級，他的角度，也可以說是智力，是五十九度卅分。根據記載，我這位不幸的祖先由於罹患風濕症，在被一位多邊形觸摸時，突然受到驚嚇，而將這位大人物由對角刺穿。此一事件讓他受到長期監禁並降級，還有加諸於全體親族的道德恐嚇，導致整個家族的角度被迫減少了一點五度，結果下一代家族登記時，智力降為五十八度。
後來又經過五代人長時間的努力，才逐漸恢復原來的角度，最後達到六十度，完成等腰三角形力爭上游的目標。而這一路走來的災難，皆始於觸摸過程中一個小小的意外。
說到這裡，我似乎聽到一些受過良好教育的讀者質疑：「在平面國，你怎麼知道任何關於『角』或是『角度』的事？我們是因為身處立體國，可以看到兩條相交的線條，所以看得到角度；你們能看到的只是一條線段，或是許多小線段組成的線段，你們怎麼能辨識角，遑論量測角度大小？」
我的回應是：我們看不見角，但我們可以推斷出角度，而且還很精確。受到需求的驅使，並經過長期的訓練發展，使我們擁有分辨角度的能力，比你們在沒有工具協助下，僅憑視覺所作的判斷還要準確。還有，我得告訴你們大自然給我們的幫助。根據我們的自然律法，一個等腰三角形的尖角最初是半度，也就是卅分。然後每一代增長半度（如果那樣也叫增長），最終達到六十度的目標。至此，其奴隸身分也消失了，可以以自由人的身分進入等邊階層了。
就這樣，大自然供應我們以半度逐步提升所需的角度，直到六十度。這樣的範例，發生在全國範圍內所有的小學裡。但是因為偶發的退化，常見的道德與智力淪喪，以及罪犯與流氓充斥的環境，還是有許多角度僅為半度或個位數的人渣，以及為數不少的十度。這些人當然沒有公民權，其中許多人其智力甚至不足以當兵，所以只好被政府拿來當作幫助教育的樣本。他們被牢牢綁住，以消除危險性，然後放在兒童學校的教室，教育當局用來告誡中產階級的下一代，看看這些完全沒有智力可言的可憐蟲。
在某些州郡，偶爾會餵飼這些樣本，所以他們仍然會痛苦的存活若干年。但在一些氣候溫和，規範制度較好的區域，人們發現長期而言，若為青年教育計，把食物節省下來，每月淘汰更換這些樣本更為有利。一個月大概就是罪犯沒有食物的存活期。對於比較拮据的學校，樣本存活期較長反而不利，一方面因為可能要消耗較多的食物，另一方面則是經過幾周的觸摸後，這些角度由於磨損而失去了精度。
我必須指出，在檢討昂貴體系①的優勢時，可隱約感受到，平面國的政要們念茲在茲的目標其實是將等腰三角形多餘人口降低。總而言之，雖然我不否認許多公開選舉產生的校董會更傾向便宜體系②，我個人卻偏向認定這是諸多「昂貴（體系）反倒較為划算」例證的其中之一。
不該讓校董會的政治問題岔了題。我已經充分闡明觸摸辨識並不是想像中無聊草率的過程，它明顯是一種比聽覺辨識更為可靠的方式。雖然，如前所述，現在仍有反對聲浪認為觸摸是一種危險的方式。因此，許多中、下階層與幾乎所有的圓形與多邊形上流階層，更喜歡第三種方式，以下我將用整個章節來說明這種方式。
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